求X^3+5X^2*Y+5XY^2+Y^3的最小值,XY为正数

X^3+5X^2*Y+5XY^2+Y^3
=(X^3+Y^3)+(5X^2*Y+5XY^2)
=(X+Y)(X^2-XY+Y^2)+5XY(X+Y)
=(X+Y)(X^2+4XY+Y^2)
=(X+Y)[(X+Y)^2+2XY]
》2倍根号(xy)*[2xy+2xy]
=8xy*根号xy
如果x,y为正整数，则最小值是8，当且仅当x=y=1时取等
如果仅仅是正数，那么最小值趋近于0，但不等于0

一
X^3+5X^2*Y+5XY^2+Y^3
=（X+Y）^3+2X^2*Y+2XY^2
=（X+Y）^3+2X^2*Y+2XY^2
=(X+Y)^3+2XY(X+Y)
=(X+Y)[(X+Y)^2+2XY]
因为X+Y>=2根号下XY
所以>=2根号下XY[(2根号下XY)^2+2XY]
=2根号下XY*6XY=12XY*根号下XY
所以最小值为12XY*根号下XY
x,y为正整数，则最小值是12，当且仅当x=y=1时取等

二
这个式子里的因式都大于0，XY为正数，都是增函数，所以当且仅当x=y=1时取最小值，即12

没有最小值，当X和Y都无限小的时候，这个多项式的值接近0

晕，f(x,y)=X^3+5X^2*Y+5XY^2+Y^3对x、y都是增函数

X,Y分别都为正整数
所以，取x=1,y=1时，得到最小值12。

一眼就能看出当x=1,y=1时，得到最小值12

最小值为12。如果把x看成是一个正的常数，则X^3+5X^2*Y+5XY^2+Y^3是一个以y为自变量的单调增函数（y也是正数），所以x，y同时取最小值1，1时整个值最小